题目

如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F ，过点F作FG⊥BC于点G ，连接AC ．易证：AC （EC＋FG）．（提示：取AB的中点M ，连接EM）（1）当点E是BC边上任意一点时，如图②；当点E在BC延长线上时，如图③，请直接写出AC ， EC ， FG的数量关系，并对图②进行证明；（2）已知正方形ABCD的面积是27，连接AF ，当△ABE中有一个内角为30°时，则AF的长为．答案：解：当点E是BC边上任意一点时，AC= 2 （EC＋FG）；当点E在BC延长线上时，AC= 2 （FG－CE）；证明如下：当点E是BC边上任意一点时，如图②，在AB的取一点M，使得AM=EC，连接EM． ∵∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠FEG=90°． ∵在正方形ABCD中，∠B =90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°． ∴∠BAE=∠FEG． ∴∠BME=45°． ∴∠AME=180°－∠BME=180°－45°=135°． ∵CF平分∠DCG，GF⊥BC， ∴∠ECF=180°－∠FCG=180°－45°=135°，GF=CG． ∴∠AME = ∠ECF． ∴△AME≌△ECF． ∴AE=EF．在△ABE和△EGF中，∠BAE=∠FEG，∠B=∠G ，AE=EF， ∴△ABE≌△EGF． ∴BE=GF． ∵AB=BC， ∴AB=BC=CE+BE=CE+FG． ∵AC= 2 AB， ∴当点E是BC边上任意一点时，AC= 2 （EC＋FG）；当点E在BC延长线上时，如图③，在AB的取一点M，使得AM=EC，连接EM．同理可证得BE=FG． ∴AB=BC = BE－CE= FG－CE． ∵AC= 2 AB， ∴当点E在BC延长线上时， AC= 2 （FG－CE）．【1】62 或 66

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