题目

如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， . （Ⅰ）求异面直线 与 所成角的正弦值； （Ⅱ）若三棱锥 体积为2，求 的长. 答案：解：（Ⅰ）由已知 AD//BC ，故 ∠DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角 因为 AD⊥ 平面 PDC ，所以 AD⊥PD . 在 RtΔPDA 中，由已知，得 AP=AD2+PD2=12+22=5 ，故 sin∠DAP=PDAP=255 . 所以异面直线 AP 与 BC 所成角的正弦值为 255 . （Ⅱ）因为 AD⊥ 平面 PDC ，直线 PD⊂ 平面 PDC ，所以 AD⊥PD . 又因为 BC//AD ，所以 PD⊥BC ，又 PD⊥PB ，所以 PD⊥ 平面 PBC .所以 PD⊥PC ， 在 RtΔPDC 中，由 CD=4 ， PD=2 ，可得 PC=23 . 又因为 AD⊥ 平面 PDC,AD//BC ，所以 BC⊥PC ， 所以 VD−PBC=13⋅SΔPCD⋅BC=13×12×PD⋅PC⋅BC=13×12×2×23×BC=2 所以 BC=3 .

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