题目

已知动点到点的距离与到直线的距离相等，动点的轨迹为曲线. （1） 求曲线的方程； （2） 已知 ， 不垂直于坐标轴的直线与曲线相交于 ， 两点，是坐标原点，若平分 ， 问直线是否过定点？若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由. 答案： 解：因为动点P到(1，0)的距离与直线x=−1的距离相等，所以曲线E是以(1，0)为焦点，直线x=−1为准线的抛物线，设E的方程为y2=2px(p>0)，则p=1−(−1)=2故曲线E的方程为y2=4x； 解：由题意设直线l的方程为x=my+n(m≠0)，联立{x=my+n，y2=4x，消x整理得y2−4my−4n=0，Δ=(−4m)2−4×1×(−4n)=16(m2+n)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=4m，y1y2=−4n，因为OM平分∠AMB，所以kMA=−kMB，故kMA+kMB=y1x1+3+y2x2+3=y1(x2+3)+y2(x1+3)(x1+3)(x2+3)=0，所以y1(x2+3)+y2(x1+3)=0，而y1(x2+3)+y2(x1+3)=y1(my2+n+3)+y2(my1+n+3)=2my1y2+(y1+y2)(n+3)=2m(−4n)+4m(n+3)=12m−4mn=0由题知m≠0，所以n=3，所以直线l的方程为x=my+3，当y=0时，x=3，故直线l恒过定点(3，0).

查看本题答案和解析