题目

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC= ． （1） 证明PC⊥AD； （2） 求二面角A﹣PC﹣D的余弦值． 答案： 证明：∵AC=1，AD=2，CD= 5 ， ∴AC2+AD2=DC2，∴AC⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥PA，又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴AD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴PC⊥AD 解：以A为原点，以AD，AC，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示 则D（2，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2），∴ CD→ =（2，﹣1，0）， CP→ =（0，﹣1，2），设平面CDP的法向量为 n→ =（x，y，z），则 {n→⋅CD→=0n→⋅CP→=0 ，∴ {2x−y=0−y+2z=0 ，令x=1得 n→ =（1，2，1），又AD⊥平面APC，∴ m→ =（1，0，0）为平面PAC的一个法向量，∴cos＜ m→，n→ ＞= m→⋅n→|m→|⋅|n→| = 11×6 = 66 ．∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为 66 ．

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