题目

已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R） （Ⅰ）证明直线l经过定点并求此点的坐标；（Ⅱ）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（Ⅲ）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 答案：解：（I）证明：直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R），化为：k（x+2）﹣y+1=0，令 {x+2=0−y+1=0 ，解得x=﹣2，y=1． ∴直线l经过定点（﹣2，1）．（Ⅱ）由直线l不经过第四象限，y=kx+2k+1．则k≥0，（Ⅲ）直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，由直线l的方程kx﹣y+1+2k=0可得与坐标轴的交点A (−1+2kk，0) ，B（0，1+2k）， {−1+2kk<01+2k>0 ，k≠0，解得：k＞0．∴S= 12|−1+2kk| ×|1+2k|= 121+2kk×(1+2k) = 12(4k+1k+4) ≥ 12(24k⋅1k+4) =4，当且仅当k= 12 时取等号．S的最小值为4，及此时直线l的方程为：x﹣2y+4=0

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