题目

已知函数 . （1） 当 时，求 的图像在 处的切线方程； （2） 若函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围. 答案： 解：当a＝2时，f(x)＝2lnx－x2＋2x，f′(x)＝ 2x －2x＋2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率k＝f′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0 解：g(x)＝2lnx－x2＋m，则g′(x)＝ 2x －2x＝ −2(x+1)(x−1)x .∵x∈[ 1e ，e]，∴当g′(x)＝0时，x＝1.当 1e <x<1时，g′(x)>0；当1<x<e时，g′(x)<0.故g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝m－1.又g( 1e )＝m－2－ 1e2 ，g(e)＝m＋2－e2，g(e)－g( 1e )＝4－e2＋ 1e2 <0，则g(e)<g( 1e )，∴g(x)在[ 1e ，e]上的最小值是g(e).g(x)在[ 1e ，e]上有两个零点的条件是{g(1)=m−1>0g(1e)=m−2−1e2≤0 ，解得1<m≤2＋ 1e2 ，∴实数m的取值范围是(1，2＋ 1e2 ]

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