题目

如图，矩形ABCD中，AB＝ BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE. （1） 求证：DE平分∠AEC； （2） 若AD＝ ，求出DG的长. 答案： 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AB=CD ， AB//DC ， ∠ABC=90° ， ∵BC=BE ， ∴CE=2BC ， ∵AB=2BC ， ∴CD=CE ， ∴∠CDE=∠CED ， ∵AB//CD ， ∴∠CDE=∠AED ， ∴∠AED=∠DEC ， ∴DE 平分 ∠AEC ； 解： ∵BC=BE ， ∠CBE=90° ， ∴∠BCE=∠BEC=45° ， ∵CD//AB ， ∴∠DCE=∠BEC=45° ， ∵DF⊥CE ， ∴∠CDF=45° ， ∴DF=CF ， ∴CD=2DF ， ∵AB=CD ， AB=2BC ， BC=BE ， ∴BE=DF=CF=BC ， ∵∠ADC=90° ， ∴∠FDG=45° ， ∴∠BEF=∠EDF ， ∵BC=CF ， ∠BCF=45° ， ∴∠CBF=∠CFB=67.5° ， ∴∠EBF=90°−67.5°=22.5° ， ∠DFG=180°−67.5°−90°=22.5° ， ∴∠EBF=∠DFG ， 在 ΔDFG 和 ΔEBF 中， {∠FDG=∠BEFBF=DF∠EBF=∠DFG ∴ΔDFG≅ΔEBF(ASA) ， ∴DG=EF ， ∵EF=CE−CF=AB−BC=2BC−BC=2×6−6=23−6 ， ∴DG=23−6 .

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