题目

已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， 为边 上两点， ， ． （1） 求 的长； （2） 过线段 中点 作一条直线 ，分别交边 ， 于 ， 两点，设 ， ，求 的最小值． 答案： 解：在 △ABQ 与 △AQC 中分别使用正弦定理有： BQsin∠BAQ=ABsin∠AQB 和 CQsin∠CAQ=ACsin∠AQC ， 两式相除得： BQQC=ABsin∠BAQACsin∠CAQ ， 因为 BQQC=ABAC ， 所以 sin∠CAQ=sin∠BAQ ， 因为 ∠CAQ=π3 ， ∠BAQ∈(0，π) ， 所以 ∠BAQ=π3 ， ∠BAC=2π3 ， 因为 CPBP=ABAC=2 ， 所以 CP=2BP ， AB=2AC ，又 a=6 ， 在 △ABC 中，由余弦定理得： a2=b2+c2−2bccos∠BAC ，得 b2=367 ， 在 △ABQ 与 △ACQ 中由余弦定理可得 {AC2=AQ2+QC2−2AQ⋅QCcos∠AQCAB2=AQ2+QB2−2AQ⋅QBcos∠AQB ，即 {2b2=2AQ2+2QC2−4AQ⋅QCcos∠AQCc2=AQ2+QB2−4AQ⋅QCcos∠AQC ， 所以 AQ2=2b2−8=2×367−8=167 ，得 AQ=477 ． （法二）因为 AQ→=AC→+CQ→ ， AQ→=AB→+BQ→ 且 BQ→=−2CQ→ ， 所以 3AQ→=2AC→+AB→ ， 所以 9AQ→2=4AC→2+AB→2+4AC→⋅AB→ ， |AQ→|2=4b2+4b2+4b⋅2b(−12)9=49×367=167 ，得 AQ=477 ． 因为 CPBP=2 ，所以 CP=2BP ，得 CP→=−2BP→ ， 所以 AP→−AC→=−2(AP→−AB→) ， 所以 AP→=23AB→+13AC→ ， 同理：设 NE→=−λME→ ， λ≠0 ，得 AE→=λ1+λAM→+11+λAN→ ， 因为 E 为 AP 中点， 所以 AP→=2λ1+λAM→+21+λAN→=2λx1+λAB→+2y1+λAC→ ， 所以 {2λx1+λ=232y1+λ=13 ，得 {λ1+λ=13x11+λ=16y ，即 13x+16y=1 ， x+y=(x+y)(13x+16y)=13+16+y3x+x6y≥12+23 ， 当且仅当 x=2+26 ， y=2+16 时等号成立． 所以 x+y 的最小值为 12+23 ．

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