题目

已知函数 ． （1） 解不等式： ； （2） 求函数 的值域． 答案： 由题意， f ( x ) = 2 x 2 − x − 1 x 2 + x + 1 > 1 ，又 x 2 + x + 1 = ( x + 1 2 ) 2 + 3 4 > 0 ∴ 2 x 2 − x − 1 > x 2 + x + 1 ，即 x 2 − 2 x − 2 > 0 ， ∴ x < 1 − 3 或 x > 1 + 3 ，故解集为 ( − ∞ ， 1 − 3 ) ∪ ( 1 + 3 ， + ∞ ) . 令 y = 2 x 2 − x − 1 x 2 + x + 1 ，可得 ( y − 2 ) x 2 + ( y + 1 ) x + ( y + 1 ) = 0 ， 当 x = − 1 时，有 y = 2 ； 当 x ≠ − 1 时，有 y ≠ 2 ，又 ( y − 2 ) x 2 + ( y + 1 ) x + ( y + 1 ) = 0 为一元二次方程且在 ( − ∞ ， − 1 ) ∪ ( − 1 ， + ∞ ) 内有实数解， ∴ { y ≠ 2 ， Δ = ( y + 1 ) 2 − 4 ( y − 2 ) ( y + 1 ) ≥ 0 ，解得： − 1 ≤ y ≤ 3 且 y ≠ 2 ， 综上， − 1 ≤ y ≤ 3 ， ∴ f ( x ) 的值域为 [ − 1 ， 3 ] ．

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