题目

已知离心率为 的椭圆C： =1（a＞b＞o）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆于C不同的两点A，B． （1） 求椭圆的C方程． （2） 证明：若直线MA，MB的斜率分别为k1、k2 ， 求证：k1+k2=0． 答案： 解：设椭圆C的方程为： x2a2+y2b2=1(a>b>0) ． 由题意得： {ca=32①a2=b2+c2②4a2+1b2=1③ ，把①代入②得：a2=4b2④．联立③④得：a2=8，b2=2．∴椭圆方程为 x28+y22=1 证明：∵M（2，1），∴ kOM=12 又∵直线l∥OM，可设 l：y=12x+m ，将式子代入椭圆C得： x2+4(12x+m)2−8=0 ，整理得：x2+2mx+2m2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣2m， x1x2=2m2−4 ．设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，则 k1=y1−1x1−2 ， k2=y2−1x2−2 ．下面只需证明：k1+k2=0，事实上， k1+k2=12x1+m−1x1−2+12x2+m−1x2−2 = 12(x1−2)+mx1−2+12(x2−2)+mx2−2 = 1+m(1x1−2+1x2−2) = 1+m⋅x1+x2−4x1x2−2(x1+x2)+4 = 1+m⋅−2m−42m2−4−2(−2m)+4 = 1−2m2+4m2m2+4m =0．

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