题目

长方形ABCD位于平面直角坐标系中平行移动． （1） 如图1，若AB⊥x轴且点A的坐标（﹣4，4），点C的坐标为（﹣1，﹣2），在边AB上有动点P，过点P作直线PQ交BC边于点Q，并使得BP＝2BQ． ①当S△BPQ＝ S长方形ABCD时，求P点的坐标． ②在直线CD上是否存在一点M，使得△MPQ是以PQ为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出M点坐标：若不存在，请说明理由． （2） 如图2，若AB⊥x轴且A、B关于x轴对称，连接BD、OB、OD，且OB平分∠CBD，求证：BO⊥DO． 答案： 解：①∵四边形ABCD是矩形，且AB⊥x轴，点A的坐标（﹣4，4），点C的坐标为（﹣1，﹣2）， ∴点B的坐标（﹣4，﹣2），点D（﹣1，4）， ∴AD＝3＝BC，AB＝CD＝6， ∵S△BPQ＝ 18 S长方形ABCD， ∴ 12 ×BP×BQ＝ 18 ×AB×BC＝ 94 ，且BP＝2BQ， ∴BQ＝ 32 ，BP＝3， ∴点P（﹣4，1） ②如图，若∠MPQ＝90°，过点M作MN⊥AB于点N， ∵MN⊥AB，∠ABC＝∠BCD＝90° ∴四边形BCMN是矩形 ∴MN＝BC＝3，BN＝CM， ∵MN⊥AB，∠MPQ＝90°， ∴∠BPQ+∠BQP＝90°，∠NPM+∠BPQ＝90°， ∴∠BQP＝∠MPN，且PQ＝PM，∠ABC＝∠PNM＝90°， ∴△PMN≌△QPB（AAS） ∴PB＝MN＝3，BQ＝PN， ∵PB＝2BQ ∴BQ＝ 32 ＝PN ∴MC＝BN＝BP+PN＝ 92 ∴点M坐标（﹣1， 52 ） 如图，若∠PQM＝90°， ∵∠PQM＝90°，∠ABC＝90°， ∴∠PQB+∠MQC＝90°，∠BPQ+∠PQB＝90°， ∴∠BPQ＝∠MQC，且PQ＝QM，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴△BPQ≌△CQM（AAS） ∴BQ＝CM，QC＝BP， ∵BQ+QC＝BQ+BP＝BC＝3，且BP＝2BQ， ∴BQ＝MC＝1， ∴点M坐标（﹣1，﹣1） 综上所述：点M坐标为（﹣1， 52 ）或（﹣1，﹣1） 解：设BD与x轴的交点为E，连接AE， ∵A、B关于x轴对称， ∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠BAE， ∵∠BAD＝90°， ∴∠ABE+∠ADB＝90°，∠BAE+∠EAD＝90°， ∴∠ADB＝∠EAD， ∴AE＝DE， ∴AE＝DE＝BE， ∵AB⊥x轴，AB⊥BC， ∴BC∥x轴， ∴∠EOB＝∠OBC， ∵BO平分∠CBD， ∴∠DBO＝∠CBO， ∴∠DBO＝∠EOB， ∴BE＝EO， ∴BE＝EO＝DE， ∴∠EDO＝∠EOD， ∵∠DBO+∠EOB+∠EDO+∠EOD＝180°， ∴∠BOE+∠DOE＝90°， ∴∠BOD＝90°， 即BO⊥DO

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