题目

如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD ， 点M为棱AB的中点，AB=2，AD= ，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值． 答案：解：（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM= AD2+AM2=13 ．∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN= AD2+AN2=13 ．等腰 △DMN 中，MN=1，∴ cos∠DMN=12MNDM=1326 ．∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为 1326 ．（Ⅲ）连接CM∵ △ABC 为等边三角形，M为边AB中点，∴CM⊥ABCM= 3 又面ABC⊥面ABD，而CM ⊂ 面ABC，故CM⊥面ABD，∴ ∠CDM 为直线CD与面ABD所成角Rt△CAD 中 CD=CA2+AD2=4Rt△CMD 中， sin∠CDM=CMCD=34所以CD与平面所成角正弦值为 34

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