题目

已知焦距为2 的椭圆C： + =1（a＞b＞0）的右顶点为A，直线y= 与椭圆C交于P、Q两点（P在Q的左边），Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形． （1） 求椭圆C的方程； （2） 斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N．（i）若直线l过原点且与坐标轴不重合，E是直线3x+3y﹣2=0上一点，且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，求k的值（ii）若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM，点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点． 答案： 解：由题意可得2c=2 2 ，即c= 2 ，直线y= 43 代入椭圆方程可得 x2a2 + 169b2 =1，解得x=±a 1−169b2 ，可得|AB|=a﹣a 1−169b2 ，由四边形ABPQ是平行四边形，可得|AB|=|PQ|=2a 1−169b2 ，解得b= 2 ，a= b2+c2 =2，可得椭圆的方程为 x24+y22=1 解：（i）由直线y=kx代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2=4，解得x=± 21+2k2 ，可设M（ 21+2k2 ， 2k1+2k2 ），由△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，可设E（m， 23 ﹣m），E到直线kx﹣y=0的距离为d= |km+m−23|1+k2 ，即有OE⊥MN，|OM|=d，即为 23−mm =﹣ 1k ， 4+4k21+2k2 = |km+m−23|1+k2 ，由m= 2k3(k−1) ，代入第二式，化简整理可得7k2﹣18k+8=0，解得k=2或 47 ；（ii）证明：由M（﹣2，0），可得直线MN的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程可得，（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，可得﹣2+xN=﹣ 8k21+2k2 ，解得xN= 2−4k21+2k2 ，yN=k（xN+2）= 4k1+2k2 ，即N（ 2−4k21+2k2 ， 4k1+2k2 ），设G（t，0），（t≠﹣2），由题意可得D（2，4k），A（2，0），以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，可得AN⊥DG，即有kAN•kDG=﹣1，即为 4k2−4k2−2−4k2 • 4k2−t =﹣1，解得t=0．故点G是定点，即为原点（0，0）

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