题目

已知抛物线 ： ，直线 ： . （1） 若直线 与抛物线 相切，求直线 的方程； （2） 设 ，直线 与抛物线 交于不同的两点 ， ，若存在点 ，满足 ，且线段 与 互相平分（ 为原点），求 的取值范围. 答案： 解：法1：由 {y=kx−4y2=8x 得 k2x2−8(k+1)x+16=0  由k2≠0及△=64(k+1)2−64k2=0,得k=−12 所以，所求的切线方程为 26−22   法2：因为直线 l 恒过（0，-4），所以由 y2=8x 得 y=±8x 设切点为 (x0,y0) ，由题可得，直线与抛物线在 x 轴下方的图像相切， 则 y=−8x,∴y′|x=x0=−2x0 所以切线方程为 y+8x0=−2x0(x−x0) ，将坐标（0，-4）代入得 x0=8 即切点为（8，-8），再将该点代入 y=kx−4 得， k=−12 所以，所求的切线方程为 26−22 解：由 {y=kx−4y2=8x 得 k2x2−8(k+1)x+16=0  ∵△=64(k+1)2−64k2>0, 且 k≠0 ， ∴k>−12 ∴x1+x2=8(k+1)k2, 所以 y1+y2=k(x1+x2)−8=8k ， 因为线段OC与AB互相平分，所以四边形OACB为平行四边形 ∴OC→=OA→+OB→=(x1+x2,y1+y2) =(8(k+1)k2,8k) ，即C (8(k+1)k2,8k) 由 |CQ→+CA→|=|CQ→−CA→| 得， AC⊥QC ， 法1：所以 kAC· kQC= =-1 又 kQC= 8k8(k+1)k2−4=2k2(k+1)−k2 ，又 kAC=kOB=y2x2=k−4x2 所以 2k2(k+1)−k2 ·(k−4x2)=−1 ，所以 8x2=k+2k+2 所以，若k>0，则8x2≥22+2=2(2+1),当且仅当k=2时取等号，此时0<x2≤4(2−1)若-12<k<0，由于k=-12时，k+2k+2=-52，∴8x2<−92+2=−52,即x2<−165（舍去） 法2：因为 |CQ→+CA→|=|CQ→−CA→| ∴QC→·AC→=0 又 QC→=(8(k+1)k2−4,8k),AC→=OB→=(x2,y2)=(x2,kx2−4) ∴QC→·AC→=(8(k+1)k2−4)x2+8k(kx2−4)=0 ，即 8x2=k+2k+2 所以，若k>0，则8x2≥22+2=2(2+1),当且仅当k=2时取等号，此时0<x2≤4(2−1)若-12<k<0，由于k=-12时，k+2k+2=-52，∴8x2<−92+2=−52,即x2<−165（舍去）

查看本题答案和解析