题目

已知动点M到定点F（1，0）的距离与到定直线 的距离之比为定值 ． （1） 求动点M轨迹L的方程； （2） 设L的左、右焦点分别为 ， ，过点 作直线l与轨迹L交于A，B两点， ，求 的面积． 答案： 解：设 M(x，y) ，d为点M到定直线 x=2 的距离，根据题意得 |MF|d=22 ，即 (x−1)2+y2|x−2|=22 ， 化简得 x2+2y2=2 ，即 x22+y2=1 ∴动点M轨迹L的方程 x22+y2=1 由题意可得 F1(−1，0) ， F2(1，0) ，设直线l的方程为 x=my+1 ， 将直线l的方程代入 x22+y2=1 中，得 (m2+2)y2+2my−1=0 ， 设 A(x1，y1) ， B(x2，y2) ，则 y1+y2=−2mm2+2 ， y1y2=−1m2+2 ． 所以 AF1→=(−x1−1，−y1) ， BF1→=(−x2−1，−y2) ， 所以 AF1→⋅BF1→=(x1+1)⋅(x2+1)+y1y2，=x1+x2+x1x2+1+y1y2 =m(y1+y2)+2+(my1+1)(my2+1)+1+y1y2=4−2m2m2+2−m2m2+2−2m2m2+21m2+2 =7−m2m2+2 ， 由 7−m2m2+2=12 ，解得 m2=4 ． 所以 y1+y2=±23 ， y1y2=−16 ， 因此 S△ABF1=12|F1F2||y1−y2|=12×2×(y1+y2)2−4y1y2=103 ．

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