题目

在四边形中， ， ， （1） 如图1，求证：四边形为矩形． （2） 如图2，连接 ， 点E为上一点， ， 连接 ， ， 求的度数． （3） 如图3，在（2）的条件下，过点B作的平行线，交的延长线于点F，过点F作的垂线交的延长线于点G，点H在上，连接 ， ， ， ， 求的长． 答案： 证明：如图1， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD+∠ABC=180°， 又∵∠BAD=∠ABC， ∴∠BAD=∠ABC=90°， ∴四边形ABCD为矩形； 解：如图2，延长CB至N，使BN=BE，连接AN，  ∵BN=BE，∠ABE=∠ABN=90°，AB=AB， ∴△ABN≌△ABE（SAS）， ∴∠AEN=∠ANE，∠BAN=∠BAE，AE=AN， ∵∠BAE=∠ACB， ∴∠BAE+∠EAC=∠ACB+∠EAC， ∴∠AEN=∠BAC=∠ANE， ∵∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠ANE+∠ACB=90°， ∴∠NAC=90°， ∵EC=2BE， ∴EC=EN， ∴AE=EC=EN， ∴∠ANE=∠NAE=∠AEN， ∴△AEN是等边三角形， ∴∠ANE=60°=∠AEN， ∴∠ACB=30°， ∴∠ACD=60°； 解：连接FD交AC于点T，过点G作GP⊥HF于点P，过点T作TQ⊥GH于点Q， ∵∠ACD=60°， ∴∠ACB=∠DAC=30°，∠BAC=60°， ∵AC∥BF， ∴∠BFE=∠FAC=30°， ∴∠EBF=∠EFB=30°， ∴BE=EF， ∵AE=CE，CE=2BE， ∴AF=3BE， 又∵BC=AD=3BE， ∴AF=AD， ∴DT=FT，AC⊥DF， ∴∠TDC=30°， ∴∠DFG=60°， 又∵FG⊥CD， ∴FT=TG=TD， ∴△FGT为等边三角形， ∴TG=FG，∠FGT=60°， ∵∠FHG=30°， ∴∠PGH=60°， ∴∠FGP=∠TGQ， ∵∠FPG=∠TQG=90°， ∴△FPG≌△TQG（AAS）， ∴PG=QG， ∵Rt△PGH中，GH=2PG， ∴QH=QG， ∴HT=TG=FT， ∵FH=6， ∴FT=6×22=32， ∴DT=32， ∴AD=2DT=62．

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