题目

如图，抛物线与直线交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为 .点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F. （1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；（3）若存在点P，使∠PCF=450 ，请直接写出相应的点P的坐标. 答案：解：∵直线 y=12x+2 经过点C，∴C（0，2）. ∵抛物线 y=−x2+bx+c 经过点C（0，2），D (3,72) ， ∴ {2=c72=−32+3b+c ，解得 {b=72c=2 . ∴抛物线的解析式为 y=−x2+72x+2 . 解：∵点P的横坐标为m且在抛物线上， ∴ P(m, −m2+72m+2), F(m, 12m+2) . ∵PF∥CO，∴当PF=CO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形. 当 0<m<3 时， PF=−m2+72m+2−(12m+2)=−m2+3m ， ∴ −m2+3m=2 ，解得：.M1=1,m2=2 即当m=1或2时，四边形OCPF是平行四边形. 当 m≥3 时， PF=(12m+2)−(−m2+72m+2)=m2−3m ， ∴ m2−3m=2 ，解得： m1=3+172,m2=3−172 （∵点P在y轴右侧的抛物线上，∴舍去）即当 m=3+172 时，四边形OCFP是平行四边形. 综上所述，当m=1或2或 3+172 时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形. 解：如图，当点P在CD上方且∠PCF=450时，作PM⊥CD于点M，CN⊥PF于点N，则△PMF∽△CNF， ∴ PMMF=CNFM=m12m=2 .∴PM=CM=2CF. ∴ PF=5FM=5CF=5×52CN=52CN=52m . 又∵ PF=−m2+3m ，∴ −m2+3m=52m . 解得： m1=12 ， m2=0 （舍去）. ∴P（ 12, 72 ）. 当点P在CD下方且∠PCF=45°时，同理可以求得：另外一点为P（ 236, 1318 ）.

数学试题推荐

数学试卷推荐