题目

已知函数. （1） 讨论函数的单调性； （2） 若 ， 求证：函数有两个零点 ， 且. 答案： 解：定义域为(0，+∞)，f′(x)=−mx2+1x=x−mx2，当m≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，+∞)上单调递增；当m>0时，由f′(x)=x−mx2=0得x=m，当0<x<m时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>m时，f′(x)>0，f(x)单调递增；综上：当m≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；当m>0时，f(x)在(0，m)上单调递减，在(m，+∞)上单调递增； 证明：当x∈(1，+∞)时，因为14<m<1e，所以g(x)=xlnx+xme−mx>0，g(x)无零点.当x∈(0，1)时，由g(x)=xlnx+xme−mx=0，得xlnx=−xme−mx，即elnxlnx=e−mx−mx，设h(x)=exx，则有h(lnx)=h(−mx)，因为h′(x)=ex(x−1)x2<0在(−∞，0)上成立，所以h(x)在(−∞，0)上单调递减，当x∈(0，1)时，lnx<0，−mx<0，所以h(lnx)=h(−mx)等价于lnx=−mx，即f(x)=mx+lnx=0，所以g(x)的零点与f(x)在上(0，1)的零点相同.若14<m<1e，由（1）知f(x)在(0，m)上单调递减，在(m，+∞)上单调递增，又f(m)=1+lnm<1+ln1e=0， f(m4)=4+lnm−ln4>4+ln14−ln4=4(1−ln2)>0，f(1)=m>0，所以f(x)在(m4，m)和(m，1)上各有一个零点，即g(x)在(0，1)上有两个零点，综上g(x)有两个零点x1，x2.不妨设m4<x1<m<x2<1，则f(x1)=mx1+lnx1=0，f(x2)=mx2+lnx2=0，相减得m(x2−x1)x1x2+lnx1x2=0，设t=x1x2，(0<t<1)，则x1=tx2，代入上式，解得x2=m(t−1)tlnt，x1=m(t−1)lnt，所以1x1+1x2=(t+1)lntm(t−1)，因为14<m<1e，所以e<1m<4，因此要证1x1+1x2=(t+1)lntm(t−1)>2e，只需证(t+1)lntt−1>2，即证lnt−2(t−1)t+1<0，(0<t<1)，设u(t)=lnt−2(t−1)t+1，(0<t<1)，则u′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0，所以u(t)在(0，1)递增，u(t)<u(1)=0，即lnt−2(t−1)t+1<0，因为0<t<1，所以可化成(t+1)lntt−1>2，又因为14<m<1e，所以1x1+1x2=(t+1)lntm(t−1)>2m>2e.

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