题目

已知函数 （1） 若 ， 判断函数的单调性，并求出函数的最值. （2） 若函数有两个零点，求实数的取值范围. 答案： 解：易知函数的定义域为(0，+∞)，当a=e时，f(x)=xex−ex−elnx+e，所以f(x)=(x+1)ex−e−ex=(x+1)(ex−ex)，当x∈(0，1)时，f(x)<0；当x∈(1，+∞)，f(x)>0；所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增；由此可得，f(x)的最小值为f(1)=e−e−eln1+e=e，无最大值. 解：因为f(x)=xex−ax−alnx+a，所以f(x)=(x+1)ex−a−ax=(x+1)(ex−ax).当a≤0时，f(x)>0在(0，+∞)上恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，故可得函数f(x)至多只有一个零点，不符合题意；当a>0时，令ex−ax=0，设该方程的解为x0，则在(0，x0)上，f(x)<0；在(x0，+∞)上，f(x)>0，所以f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增；为了满足f(x)有两个零点，则有f(x0)=x0ex0−ax0−alnx0+a<0  ①因为x0是方程ex−ax=0的解，所以x0ex0=a，两边取对数可得lnx0+x0=lna  ②，将②式代入①式可得f(x0)=a(2−lna)<0，所以a的取值范围为a∈(e2，+∞).且当a∈(e2，+∞)时，由②式得x0>1，f(1)=e−a+a=e>0，所以f(x)在(0，x0)上仅有1个零点；当x→+∞时，f(x)→+∞，故可得f(x)在(x0，+∞)上仅有1个零点；综上，若函数f(x)存在两个零点，则实数a的取值范围是(e2，+∞).

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