题目

已知：如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作，PE交边CD于点E ，过点E作，垂足为F ．（1）求证：；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．答案：证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1． ∵四边形ABCD是正方形， PG⊥BC ， PH⊥DC ， ∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45° ． ∴PG=PH ， ∠GPH=∠PGB=∠PHE=90° ． ∵PE⊥PB ，即 ∠BPE=90° ， ∴∠BPG=90°−∠GPE=∠EPH ．在 △PGB 和 △PHE 中， {∠PGB=∠PHEPG=PH∠BPG=∠EPH ∴△PGB≌△PHE(ASA) ， ∴PB=PE 解：PF的长度不发生变化．解：连接BD，如图2． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOP=90° ． ∵PE⊥PB ，即 ∠BPE=90° ， ∴∠PBO=90°−∠BPO=∠EPF ． ∵EF⊥PC ，即 ∠PFE=90° ， ∴∠BOP=∠PFE ．在 △BOP 和 △PFE 中， {∠PBO=∠EPF∠BOP=∠PFEPB=PE ∴△BOP≌△PFE(AAS) ， ∴BO=PF ． ∵四边形ABCD是正方形， ∴OB=OC ， ∠BOC=90° ， ∴BC=2OB ． ∵BC=1 ， ∴OB=22 ， ∴PF=OB=22 ． ∴点P在运动过程中，PF的长度不变，值为 22

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