题目

已知反比例函数 和一次函数y＝2x+b，其中一次函数的图象经过点A（﹣1，﹣3）和B（1，m）.反比例函数图象经过点B. （1） 求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2） 若直线 交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数 （x＞0）的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于E，过P作x轴的平行线交直线CD于F， ①请问：在该反比例函数图象上是否存在点P，使△PFE≌△OCD？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由. ②求证：DE•CF为定值. 答案： 解：∵y＝2x+b的图象经过A（﹣1，﹣3）和B（1，m）两点， ∴ {−2+b=−32+b=m 解得： {−2+b=−32+b=m ∴B（1，1） ∵反比例函数 y=k2x 的图象经过点B， ∴ 1=k2 ， 解得： k=2 ∴反比例函数的解析式为： y=1x ，一次函数的解析式为： y=2x−1 ； 解：①不存在. 理由如下：当 y=0 时， −x+12=0 ， ∴ x=12 ， 当 x=0 时， y=12 ， ∴ OC=OD=12 ， ∴ △OCD 是等腰直角三角形， 设P点的坐标为：（ a ， 1a ）， 把 y=1a 代入 y=−x+12 ，得： x=12−1a ， 把 x=a 代入 y=−x+12 ，得： y=−a+12 ， ∴F（ 12−1a ， 1a ），E（ a ， −a+12 ）， 由题意得，PE // y轴，PF // x轴， ∴PE // OC， ∠FPE=∠COD=90° ， ∴ ∠PFE=∠OCD ， 当 PF=PE=OC=12 时，△PFE≌△OCD， ∴ PF=a−(12−1a)=a−12+1a=12 ， 化为一般方程为： 4a2−a+4=0 ， ∵ Δ=(−1)2－4×4×4=－63<0 ， ∴ 4a2−a+4=0 没有实数根， ∴不存在点P，使△PFE≌△OCD； ②证明：设P（x，y）， ∵C（0.5，0），D（0，0.5）， ∴ △OCD 是等腰直角三角形， 如图，作FM⊥x轴于M，EN⊥y轴于N， ∴ △FMC 、 △DEN 是等腰直角三角形， ∴ FC=2FM=2y ， DE=2EN=2x ， ∴ DE⋅EC=2xy ， ∵P（x，y）在 y=1x 上， ∴ xy=1 ， ∴ DE⋅EC=2 .

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