题目

已知函数 . （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设，证明：当时， ； （Ⅲ）设是的两个零点，证明 . 答案：（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）当时，；（Ⅲ）证明过程见解析 【解析】（Ⅰ）的定义域为 ， 求导数，得 ， 若 ，则，此时在上单调递增， 若 ，则由得，当时， ，当时， ， 此时在上单调递减，在上单调递增. （Ⅱ）令，则    . 求导数，得 ， 当时，，在上是减函数. 而， ， 故当时， （Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当时，函数至多有一个零点， 故，从而的最小值为，且， 不妨设，则， ， 由（Ⅱ）得 ， 从而，于是， 由（Ⅰ）知， .

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