题目

如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点． （1） 若ED⊥EF，求证：ED=EF； （2） 在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）； （3） 若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明． 答案： 解：在▱ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE， ∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°， ∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED， 在△CEF和△AED中，∵∠CEF=∠AED，EC=AE，∠ECF=∠EAD，∴△CEF≌△AED， ∴ED=EF； 解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF， ∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP= 12 AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形； 解：垂直，理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N， 在△AME与△CNE中，∵∠M=∠FNE=90°，∠EAM=∠NCE=45°，AE=CE， ∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE， 在△ADE与△CFE中，∵∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠FCE=135°，DE=EF， ∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC， ∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF．

查看本题答案和解析