题目

如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM； （2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积． 答案：考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理。 解答：（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠AEF=∠B， 又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE， ∴∠CEM=∠BAE， ∴△ABE∽△ECM； （2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C， ∴∠AME＞∠AEF， ∴AE≠AM； 当AE=EM时，则△ABE≌△ECM， ∴CE=AB=5， ∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1， 当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA， ∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM， 即∠CAB=∠CEA， 又∵∠C=∠C， ∴△CAE∽△CBA， ∴， ∴CE=， ∴BE=6﹣=； （3）解：设BE=x， 又∵△ABE∽△ECM， ∴， 即：， ∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+， ∴AM=﹣5﹣CM═（x﹣3）2+， ∴当x=3时，AM最短为， 又∵当BE=x=3=BC时， ∴点E为BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴AE==4， 此时，EF⊥AC， ∴EM==， S△AEM=．

查看本题答案和解析