题目

已知：如图，等边中，点D、E分别在、边上，且 ， 、相交于点O，连接 ． （1） 如图1，当时，的度数为 　　； （2） 如图2，当时，①求的值；②求证： ． 答案： 120° 解：①解：如图1，过A作AF∥BC交BD延长线于F，∴△AFD∽△CBD，△AOF∽△EOB，∴AFBC=FDBD=ADDC=12，AOOE=AFBE=FOBO，∴AF=12BC，AD=EC=13BC，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAD=∠ACE=60°，∵AD=CE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴BD=AE，设AE=BD=x，则FD=12x，∴AOOE=FOBO=AFBE=12BCBC−13BC=34；②证明：如图2，由△ABD≌△CAE得∠ABO=∠CAO，∴∠BOE=∠ABO+∠BAO=∠CAO+∠BAO=60°，取OB中点M，连接AM，由①得AOOE =34，FOOB=34=912，FDDB=12=714，∴DOOB=212=16，∵BD=AE，AO=37AE，BM=OM=37BD，∴BM=OM=AO，∴∠OAM=∠OMA=30°，∵AB=AC，∠ABO=∠CAO，∴BM=AO，∴△ABM≌△CAO（ASA），∴∠AMB=∠COA=180°-30°=150°，∴∠COE=30°，∴∠BOC=60°+30°=90°，∴BO⊥OC．

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