题目

问题提出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？ 问题探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论. 探究一： ①用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形.所以，当n＝3时，m＝1 ②用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形，所以，当n＝4时，m＝0 ③用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形？若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形，所以，当n＝5时，m＝1 ④用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形？若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形，所以，当n＝6时，m＝1 综上所述，可得表① n 3 4 5 6 m 1 0 1 1 探究二： （1） 用7根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表②中） （2） 分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中） n 7 8 9 10 m 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，… （3） 解决问题：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？ （设n分别等于4k﹣1、4k、4k+1、4k+2，其中k是整数，把结果填在表 ③中） n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2 m （4） 问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（要求写出解答过程）其中面积最大的等腰三角形每个腰用了根木棒.（只填结果） 答案： 解：7＝1+1+5（舍去）； 7＝2+2+3（符合要求）； 7＝3+3+1（符合要求） 解：8＝1+1+6（舍去）； 8＝2+2+4（舍去）； 8＝3+3+2（符合要求）； 9＝1+1+7（舍去）； 9＝2+2+5（舍去）； 9＝3+3+3（符合要求）； 9＝4+4+1（符合要求）； 10＝1+1+8（舍去）； 10＝2+2+6（舍去）； 10＝3+3+4（符合要求）； 10＝4+4+2（符合要求）； 填表如下： n 7 8 9 10 m 2 1 2 2 解决问题： 令n＝a+a+b＝2a+b， 则：b＝n﹣2a， 根据三角形三边关系定理可知： 2a＞b且b＞0， ∴ {2a>n−2an−2a>0 ， 解得： n4<a<n2 ， 若n＝4k﹣1，则 k−14<a<2k−12 ，a的整数解有k个； 若n＝4k，则k＜a＜2k，a的整数解有k﹣1个； 若n＝4k+1，则 k+14<a<2k+12 ，a的整数解有k个； 若n＝4k+2，则 k+12<a<2k+1 ，a的整数解有k个； 填表如下： n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2 m k k﹣1 k k 【1】672

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