题目

如图，在三棱锥P-ABC中， ， ， ， ，平面 平面ABC． （1） 求证： 平面PBC； （2） 求二面角P-AC-B的余弦值； （3） 求直线BC与平面PAC所成角的正弦值． 答案： 解：因为平面 PAB⊥ 平面ABC，平面 PAB∩ 平面 ABC=AB BC⊥AB ， BC⊂ 平面 ABC 所以 BC⊥ 平面 PAB 因为 PA⊂ 平面 PAB ，所以 BC⊥PA 又因为 PA⊥PB ， PB∩BC=B 所以 PA⊥ 平面 PBC 解：如图，作 PO⊥AB 于点O， OM⊥AC 于点M，连结 PM 因为平面 PAB⊥ 平面ABC，平面 PAB∩ 平面 ABC=AB PO⊥AB ， PO⊂ 平面 PAB 所以 PO⊥ 平面 ABC 根据三垂线定理得： PM⊥AC 所以 ∠PMO 是二面角P-AC-B的平面角 设 PA=PB=6 ，因为 PA⊥PB 所以 AB=23 ， PO=AO=BO=3 因为 OM⊥AC ， ∠BAC=30° 所以 OM=AO⋅sin30°=32 ， PM=152 所以 cos∠PMO=OMPM=55 即二面角P-AC-B的余弦值为 55 解：在（2）的前提下可得： AC=4,BC=2 SΔPAC=12⋅AC⋅PM=15 ， SΔABC=12⋅AB⋅BC=23 设点B到平面 PAC 的距离为 d 因为 VP−ABC=VB−PAC 所以 PO⋅SΔABC=SΔPAC⋅d 所以 d=3×2315=2155 所以直线BC与平面PAC所成角的正弦值为 dBC=155

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