题目

我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段 的最小覆盖圆就是以线段 为直径的圆． （1） 请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2） 三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）； （3） 某城市有四个小区 （其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路． 答案： 解：如图所示： 解：锐角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆，直角三角形的最小覆盖圆二者均可 解：结论： ΔHEF 的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置．研究思路：a．手机信号基站应建在四边形 EFGH 的最小覆盖圆的圆心处；所以先考虑四边形 EFGH 的外接圆，因为对角不互补，所以该四边形没有外接圆；b．作四边形对角线，将四边形分割成两个三角形，考虑其中一个三角形的最小覆盖圆能否覆盖另一个三角形，从而将四边形最小覆盖圆问题转化为三角形最小覆盖圆问题来研究；c．若沿 GE 分割，因为 ∠GHE+∠GFE<180° ，所以这两个三角形的最小覆盖圆均不能完全覆盖另一个三角形；d．若沿 HF 分割，因为 ∠HEF+∠HGF>180° ，所以存在一个三角形的最小覆盖圆能完全覆盖另一个三角形的情况，又因为 ∠HEF<90° ，所以 ΔHEF 的最小覆盖圆，即其外接圆能完全覆盖 ΔHGF ，因此 ΔHEF 的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置．

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