题目

如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， 是等腰直角三角形， . （1） 证明： ； （2） 若 与平面 所成角的大小为 ， ，求点 到平面 的距离. 答案： 因为 CD⊥AD ， AB//CD ，所以 AB⊥AD ， 因为平面 PAD⊥ 平面 ABCD ，交线为 AD ，所以 AB⊥ 平面 PAD ， 于是 AB⊥PD . 在等腰直角三角形 PAD 中， PD=PA ，所以 PD⊥PA ， 又因为 AB∩PA=A ，所以 PD⊥ 平面 PAB ， 所以 PD⊥PB . 由（Ⅰ）知 AB⊥ 平面 PAD ，所以 PB 与平面 PAD 所成的角即 ∠APB=60° ， 结合已知可得 AD=2 ， AB=3 ， PB=2 ， CD=23 ， BD=5 . 可得 △PBD 是以 BD 为斜边的直角三角形. 设点 C 到平面 PBD 的距离为 d ，则 VC−PBD=13d×S△PBD=13d×12×1×2=d3 . 又因为 VP−BCD=13×22×S△BCD=13×22×12×23×2=33 ， 所以 d3=33 ， d=3 .

查看本题答案和解析