题目

平面内，如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=15，tanA= ，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ． （1） 当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小； （2） 当tan∠ABP：tanA=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）； （3） 若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．（结果保留π） 答案： 解：如图1中，①当点Q在平行四边形ABCD内时，∠AP′B=180°﹣∠Q′P′B﹣∠Q′P′D=180°﹣90°﹣10°=80°，②当点Q在平行四边形ABCD外时，∠APB=180°﹣（∠QPB﹣∠QPD）=180°﹣（90°﹣10°）=100°，综上所述，当∠DPQ=10°时，∠APB的值为80°或100° 解：如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E．∵tan∠ABP：tanA=3：2，tanA= 43 ，∴tan∠ABP=2，在Rt△APE中，tanA= PEAE = 43 ，设PE=4k，则AE=3k，在Rt△PBE中，tan∠ABP= PEEB =2，∴EB=2k，∴AB=5k=10，∴k=2，∴PE=8，EB=4，∴PB= 82+42 =4 5 ，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BQ= 2 PB=4 10 解：①如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．在Rt△AEB中，∵tanA= BEAE = 43 ，∵AB=10，∴BE=8，AE=6，∴PF=BE=8，∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF=BF=FQ=8，∴PB=PQ=8 2 ，∴PB旋转到PQ所扫过的面积= 90⋅π⋅(82)2360 =32π．②如图4中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE=x．易证△PBE≌△QPF，∴PE=QF=x，EB=PF=8，∴DF=AE+PE+PF﹣AD=x﹣1，∵CD∥AB，∴∠FDQ=∠A，∴tan∠FDQ=tanA= 43 = FQDF ，∴ xx−1 = 43 ，∴x=4，∴PE=4， 42+82 =4 5 ，在Rt△PEB中，PB=， 42+82 =4 5 ，∴PB旋转到PQ所扫过的面积= 90⋅π⋅(45)2360 =20π③如图5中，当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8，∴PB旋转到PQ所扫过的面积= 90⋅π⋅82360 =16π，综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π

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