题目

如图，在正方形ABCD中，AB=2，点P是边BC上的任意一点，E是BC延长线上一点，连结AP，作PFAP交DCE的平分线CF上一点F，连结AF交边CD于点G．（1）求证：AP=PF；（2）设点P到点B的距离为x，线段DG的长为y，试求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点P是线段BC延长线上一动点，那么（2）式中y与x的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式． 答案：(1)证明：（1）在边AB上截取线段AH，使AH=PC，连接PH，由正方形ABCD，得∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=AD，∵∠APF=90°，∴∠APF=∠B.∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APF+∠FPC，∴∠PAH=∠FPC.又∵∠BCD=∠DCE=90°，CF平分∠DCE，∴∠FCE=45°.∴∠PCF=135°.又∵AB=BC，AH=PC，∴BH=BP，即得∠BPH=∠BHP=45°.∴∠AHP=135°，即得∠AHP=∠PCF.在△AHP和△PCF中，∠PAH=∠FPC，AH=PC，∠AHP=∠PCF，∴△AHP≌△PCF，∴AP=PF．（2）解：在AD上取点N，令ND=DG，∴△NDG是等腰直角三角形.∴NG=2DG=2y，AN=2-y.同理，PM=2x，AM=2-x，∵∠APM=45°-∠PAM=∠NAG，∠PMA=∠ANG=135°，∴△APM∽△GAN.∴AMPM=NGAN，即2-x2x=2y2-y.整理，得y=4-2xx+20≤x≤2.（3）解：改变，y=2x-4x+2x>2.考点：1.正方形的性质；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.全等三角形的判定与性质；4.由实际问题列函数关系式.

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