题目

已知 ， ，求 . 答案：解：（1）矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)=|λ−1−2−2λ−1|=λ2−2λ−3 ， 令 f(λ)=0 ，解得 λ1=3 ， λ2=−1 ， 解得属于 λ1 的一个特征向量为 α1=[11] ， 属于 λ2 的一个特征向量为 α2=[1−1] . 令 β=mα1+nα2 ，即 [17]=m[11]+n[1−1] ，所以 {m+n=1m−n=7 ，解得 m=4 ， n=−3 . 所以 M4β=M4(4α1−3α2)=4(M4α1)−3(M4α2) =4(λ14α1)−3(λ24α2)=4×34[11]−3×(−1)4[1−1]=[321327] .

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