题目

如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线 运动．设点P的运动时间为t秒 ． （1） 求AC的长及斜边AB上的高． （2） 当点P在CB上时， ①CP的长为（用含t的代数式表示）． ②若点P在 的角平分线上，则t的值为． （3） 在整个运动过程中，直接写出 是等腰三角形时t的值． 答案： 解：∵ ∠C=90° ， AB=5 ， BC=3 ， ∴在 RtΔABC 中， AC=AB2−BC2=52−32=4 ． ∴AC的长为4． 设斜边AB上的高为h． ∵ 12×AB×h=12×AC×BC ， ∴ 12×5×h=12×3×4 ， ∴ h=125 ． ∴斜边AB上的高为 125 ． 【1】2t−4【2】83 解：由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上， ①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形， ∴此时CP=BC=3， ∴AP=AC-CP=4-3=1， ∴2t=1， ∴t=0.5； ②当点P在线段AB上时，若BC=BP， 则点P运动的长度为： AC+BC+BP=4+3+3=10， ∴2t=10， ∴t=5； 若PC=BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP=2BH， 在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，AC=4， ∴AB•CH=AC•BC， ∴5CH=4×3， ∴ CH=125 ， 在Rt△BCH中，由勾股定理得： BH=32−(125)2=1.8 ， ∴BP=3.6， ∴点P运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+3.6=10.6， ∴2t=10.6， ∴t=5.3； 若PC=PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q， 则 BQ=CQ=0.5×BC=32 ，∠PQB=90°， ∴∠ACB=∠PQB=90°， ∴PQ∥AC， ∴PQ为△ABC的中位线， ∴PQ=0.5×AC=0.5×4=2， 在Rt△BPQ中，由勾股定理得： BP=(32)2+22=2.5 ， 点P运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+2.5=9.5， ∴2t=9.5， ∴t=4.75． 综上，t的值为0.5或4.75或5或5.3．

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