题目

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于P．弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连结BE．      （1） 求证：AC平分∠DAB； （2） 探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明； （3） 若tan∠CEB= ，BE=5 ，求AC、BC的长． 答案： 解：如图1，连接OC， ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，∴∠OCP=∠D=90°，∴OC∥AD．∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB． 解：PC=PF． 理由：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠PCB+∠ACD=90°又∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAB=∠CAD=∠PCB． 又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．∴∠PFC=∠PCF．∴PC=PF． 解：如图2，连接AE．∵∠ACE=∠BCE， ∴ AE^=BE^ ，∴AE=BE． 又∵AB是直径，∴∠AEB=90°．AB= 2 BE=10，∵tan∠CEB=tan∠CAB= 34 ，∴ BCCA = 34 ．设BC=3x，则CA=4x，在Rt△ABC中，（3x）2+（4x）2=100解得x=﹣2（舍）或x=2，∴BC=6，AC=8．

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