题目

在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ，求 周长的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）由正弦定理可得 sinAsin2B+sinBsinA=0 ， 又因为 sinA>0 ，得 sin2B+sinB=0 ，有 2sinBcosB+sinB=0 ， 因为 sinB>0 ，得 cosB=−12 ， ∵ B 为 △ABC 的一个内角，有 B=2π3 ． （Ⅱ）由 A=π3−C ，有 0<C<π3 ， 由正弦定理有 asinA=bsinB=csinC ， 有 asinA=bsin2π3=2sinC ，得 a=2sinAsinC ， b=3sinC ， a+b=2sinAsinC+3sinC=2sin(π3−C)sinC+3sinC =3cosC−sinCsinC+3sinC=3(cosC+1)sinC−1 =23cos2C22sinC2cosC2−1=3cosC2sinC2−1=3tanC2−1 ， 由 0<C2<π6 ，有 0<tanC2<33 ，可得 a+b>2 ， 故 △ABC 周长的取值范围为 (4,+∞)

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