题目

已知f（x）=ex与g（x）=ax+b的图象交于P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）两点． （Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最小值；（Ⅱ）且PQ的中点为M（x0 ， y0），求证：f（x0）＜a＜y0 ． 答案：解：（Ⅰ）h（x）=ex﹣ax﹣b，求导得h'（x）=ex﹣a 当a≤0时，h'（x）＞0，h（x）在R上为增函数，不满足有两个零点，故不合题意；所以a＞0，令h'（x）=0，解得x=lna，并且有x∈（﹣∞，lna），h'（x）＜0；x∈（lna，+∞），h'（x）＞0，故 h(x)min=h(lna)=elna−alna−b=a−b−alna ．（Ⅱ）证明：要证f（x0）＜a＜y0成立，即证 ex1+x22<ex2−ex1x2−x1<ex2+ex12 ，不妨设x2＞x1，只需证 ex2−x12<ex2−x1−1x2−x1<ex2−x1+12，令t=x2−x1>0 ，即为 et2<et−1t<et+12 ，要证 et2<et−1t ，只需证 et2−e−t2>t ，令 F(t)=et2−e−t2−t ，只需证F（t）＞0，求导 F'(t)=12et2+12e−12−1=12(et2+e−t2)−1>0 ，∴F（t）在（0，+∞）为增函数，故F（t）＞F（0）=0，∴ et2<et−1t成立 ；要证 et−1t<et+12 ，只需证明 et−1et+1<t2 ，令 G(t)=et−1et+1−t2 ，求导 G'(t)=2et(et+1)2−12=4et−(et+1)22(et+1)2=−(et−1)22(et+1)2<0 ，∴G（t）在（0，+∞）为减函数，故G（t）＜G（0）=0，∴ et2<et−1t成立 ；∴ et2<et−1t<et+12 ，t＞0，成立，∴f（x0）＜a＜y0成立

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