题目

如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1） 判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2） 若AC＝3，BC＝4，OA＝1，求线段DE的长． 答案： 解：连接OD， ∵EF垂直平分BD， ∴ED＝EB， ∴∠EDB＝∠B， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA， ∵∠A+∠B＝90°， ∴∠ODA+∠EDB＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∴直线DE是⊙O的切线； 解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB=5， 作OH⊥AD于H， ∵OA＝OD， ∴AH＝DH， ∵在Rt△OAB中，sinA＝ BCAB ＝ 45 ， ∴在Rt△OAH中，sinA＝ OHOA=45 ， ∴OH＝ 45 ， ∴AH＝ 12−(45)2 ＝ 35 ， ∴AD＝2AH＝ 65 ， ∴BD＝5﹣ 65 ＝ 195 ， ∴BF＝ 12 BD＝ 1910 ， ∵在Rt△ABC中，cosB＝ 45 ， 在Rt△BEF中，cosB＝ BFBE ＝ 45 ， ∴BE＝ 54 × 1910 ＝ 198 ， ∴DE= BE= 198 ．

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