题目

某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接 .该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：【初步探究】（1）如图2，当时，则；（2）如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：；（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由. （4）如图5，在与中，，若，（m为常数）.保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6.试探究，，之间的数量关系，并说明理由. 答案：【1】45° 【1】BF=AF+2CF 解：如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论仍然成立，理由如下，由（2）知：△ACE≌△BCD， ∴∠CAF＝∠CBD，如图，过点C作CG⊥CF交BF于点G， ∵∠FCG=∠ACB＝90°， ∴∠ACF＝∠BCG， ∵∠CAF＝∠CBG，BC＝AC， ∴△BCG≌△ACF（ASA）， ∴GC＝FC，BG＝AF， ∴△GCF为等腰直角三角形， ∴GF=2CF， ∴BF＝BG+GF=AF+2CF. 解：BF=mAF+1+m2CF，理由如下， ∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形， ∴∠DCE＝∠ACB=90°， ∴∠ACE＝∠BCD，又∵BC=mAC，CD=mCE， ∴△BCD∽△ACE， ∴∠CBD＝∠CAE，如图，过点C作CG⊥CF交BF于点G，由（3）可得△BCG≌△ACF， ∴∠BCG＝∠ACF， ∴△BGC∽△AFC， ∴BG：AF=BC：AC=CG：CF=m：1， ∴BG＝mAF，CG＝mFC，在Rt△CGF中，由勾股定理得GF＝CF2+CG2=CF2+（mCF）2=1+m2CF， ∴BF=BG+GF=mAF+1+m2CF.

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