题目

（问题提出）用n个圆最多能把平面分成几个区域？ （问题探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论． 探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域． 探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？ 如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域． 探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？ 如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成 部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域． （1） 用4个圆最多能把平面分成几个区域？ 仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图． （2） （一般结论）用n个圆最多能把平面分成几个区域？ 为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前 个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成部分，从而增加个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成个区域．（将结果进行化简） （3） （结论应用） ①用10个圆最多能把平面分成个区域； ②用个圆最多能把平面分成422个区域． 答案： 解：在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成 2×3=6 部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3=14个区域 【1】（2n-2）【2】（2n-2）【3】n2−n+2 【1】92【2】21

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