题目

（问题提出） 如图①，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围. （1） 【问题解决】 解决此问题可以用如下方法：延长 到点 使 ，再连接 （或将 绕着点 逆时针旋转 得到 ），把 、 、 集中在 中，利用三角形三边的关系即可判断，由此得出中线 的取值范围. （2） 【应用】 如图②，在 中， 为 的中点，已知 ， ， ，求 的长. （3） 【拓展】 如图③，在 中， ，点 是边 的中点，点 在边 上，过点 作 交边 于点 ，连接 。已知 ， ，求 的长. 答案： 解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△ADC与△EDB中， {CD=BD∠ADC=∠BDEAD=DE  ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴EB=AC， 根据三角形的三边关系得：AB-AC＜AE＜AC+AB， ∴2＜AE＜10， ∵AE=2AD， ∴,1＜AD＜5， 即：BC边上的中线AD的取值范围1＜AD＜5 解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE. ∵点D为边BC的中点， ∴BD=CD. ∵∠BDE=∠ADC, ∴△ADC≌△EDB. ∴BE=AC=3,DE=AD=2. ∴AE=4. ∵AB=5，且 32+42=52 , ∴ BE2+AE2=AB2 . ∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°. ∵在Rt△BDE中，∠BED=90°， ∴BD= BE2+DE2=32+22=13 ， ∴BC=2BD= 213 解：延长ED到点G，使DG=ED，连接CG，FG. 同前法可得△EBD≌△GCD， ∴∠B=∠GCD，BE=CG=4， 又∵∠A=90°， ∴∠B+∠BCA=90°， ∴∠GCD+∠BCA=90°，即∠GCF=90°， ∵CG=4，CF=5， ∴FG= CG2+CF2 = 42+52 = 41 . ∴EF= FG = 41

查看本题答案和解析