题目

如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点(A点位于B点左侧)，与y轴相交于点C ， 点M为抛物线的顶点． （1） 求点A、B、C及顶点M的坐标． （2） 若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连结BN、CN ， 求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标． （3） 若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点D的坐标；若不存在，试说明理由． 答案： 解：令y＝x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x＝3或x＝﹣1， ∴B（3，0），A（﹣1，0），           令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3， 故C点坐标为（0，﹣3），        又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）； 解：过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连结BN，CN，如图所示： 设直线BC的解析式为：y＝ax+b， 代入C（0，﹣3），B（3，0）得： {−3=b0=3a+b ， 解得 {a=1b=−3 ， ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，   设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3， 则 S△BCN=S△NQC+S△NQB=12⋅QN⋅(xQ−xC)+12⋅QN⋅(xB−xQ)=12⋅QN⋅(xQ−xC+xB−xQ)=12⋅QN⋅(xB−xC) ，（其中xQ，xC，xB分别表示Q，C，B三点的横坐标），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，xB﹣xC＝3，      故 S△BCN=12⋅(−n2+3n)⋅3=−32n2+92n=−32(n−32)2+278 ，其中0＜n＜3， 当 n=32 时，S△BCN有最大值为 278 ，        此时点N的坐标为（ 32，−154 ）， 解：设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3） 分情况讨论： ①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知： 线段DG的中点坐标为 (xD+xG2，yD+yG2) ，即 (1+m2，t+m2−2m−32) ， 线段BC的中点坐标为 (xB+xC2，yB+yC2) ，即 (3+02，0−32) ， 此时DG的中点与BC的中点为同一个点， ∴ {1+m2=32t+m2−2m−32=−32 ，解得 {m=2t=0 ， 经检验此时四边形DCGB为平行四边形，此时D坐标为（1，0）； ②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知： 线段DB的中点坐标为 (xD+xB2，yD+yB2) ，即 (1+32，t+02) ， 线段GC的中点坐标为 (xG+xC2，yG+yC2) ，即 (m+02，m2−2m−3−32) ， 此时DB的中点与GC的中点为同一个点， ∴ {1+32=m+02t+02=m2−2m−3−32 ，解得 {m=4t=2 ， 经检验此时四边形DCBG为平行四边形，此时D坐标为（1，2）； ③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知： 线段DC的中点坐标为 (xD+xC2，yD+yC2) ，即 (1+02，t−32) ， 线段GB的中点坐标为 (xG+xB2，yG+yB2) ，即 (m+32，m2−2m−3+02) ， 此时DB的中点与GC的中点为同一个点， ∴ {1+02=m+32t−32=m2−2m−3+02 ，解得 {m=−2t=8 ， 经检验此时四边形DGCB为平行四边形，此时D坐标为（1，8）； 综上所述，D点坐标存在，为（1，0）或（1，2）或（1，8）； 

查看本题答案和解析