题目

已知直线l：y=kx和抛物线C：y=ax2+bx+1．（Ⅰ）当k=1，b=1时，抛物线C：y=ax2+bx+1的顶点在直线l：y=kx上，求a的值；（Ⅱ）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点；（i）求此抛物线的解析式；（ii）若P是此抛物线上任一点，过点P作PQ∥y轴且与直线y=2交于点Q，O为原点，求证：OP=PQ． 答案：解：（Ⅰ）将k=1，b=1代入代入得：抛物线的解析式为y=ax2+x+1，直线的解析式为y=x．∵y=ax2+x+1=a（x+ 12a ）2+1﹣ 14a ，∴抛物线的顶点为（﹣ 12a ，1﹣ 14a ）．∵抛物线的顶点在直线y=x上，∴﹣ 12a =1﹣ 14a ，解得：a=﹣ 14 ．（Ⅱ）（i）将直线y=kx向上平移k2+1个单位，所得直线的解析式为y=kx+k2+1．∵无论非零实数k取何值，直线与抛物线都只有一个交点，∴方程kx+k2+1=ax2+bx+1有两个相等的实数根，即ax2+（b﹣k）x﹣k2=0有两个相等的实数根，∴△=（b﹣k）2+4ak2=（4a+1）k2﹣2bk+b2=0．∵无论非零实数k取何值时，（4a+1）k2﹣2bk+b2=0恒成立，∴4a+1=0且b=0，∴a=﹣ 14 ，b=0．∴抛物线的解析式为y=﹣ 14 x2+1．（ii）证明：根据题意，画出图象如图所示：设点P的坐标为（x，﹣ 14 x2+1）则点Q的坐标为（x，2），D（x，0）．∴PD=|﹣ 14 x2+1|，OD=|x|，QP=2﹣（﹣ 14 x2+1）= 14 x2+1．在Rt△OPD中，依据勾股定理得：OP= x2+(−14x2+1)2 = 116x4+12x2+1 = 14 x2+1．∴OP=PQ

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