题目

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm.现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动.如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s.它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动的时间为t秒. （1） 如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q点的三角形与 相似？ （2） 如图2，Q在CB上，否存着某时刻，使得以点B、P、Q顶点的三角形与 相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 答案： 解：如图1，当∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB， ∴ AQAC=APAB . 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB= AC2+BC2=82+62 =10（cm）. ∵BP=t，AQ=t， ∴PA=10-t， ∴ t8=10−t10 ， ∴t= 409 ； 如图2，当∠APQ=90°时，△APQ∽△ACB， ∴ AQAB=APAC ， ∴ t10=10−t8 ， t= 509 . 综上所述，t= 409 或 509 时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似； 解：如图3，当△BPQ∽△BAC时， ∴ BPAB=BQBC . ∵BQ=14-t，BP=t， ∴ t10=14−t6 ， ∴t= 354 ， 当△BQP∽△BAC时， ∴ BPBC=BQBA ， ∴ t6=14−t10 ， ∴t= 214 ， ∵Q在CB上， ∴t>8， ∴t= 214 舍去， ∴t= 354 时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.

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