题目

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC， （1） 求作⊙O，圆心O是AD的中垂线与AB的交点，OD为半径．（尺规作图，不写作法，保留痕迹） （2） 求证：BC是⊙O切线． （3） 若BD=5，DC=3，求AC的长． 答案： 解：如图，⊙O即为所求； 解：证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠3．∵OA=OD，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3．∴OD∥AC，∴∠ODB=∠ACB=90°．∴OD⊥BC．∴BC是⊙O切线． 解：过点D作DE⊥AB，∵AD是∠BAC的平分线，∴CD=DE=3．在Rt△BDE中，∠BED=90°，由勾股定理得：BE= BD2−DE2 = 52−32 =4，∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC．∴ BEBC = DEAC ．∴ 48 = 3AC ．∴AC=6．

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