题目

如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D为顶点，连接BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交与点E． （1） 求抛物线解析式及点D的坐标； （2） G是抛物线上B，D之间的一点，且S四边形CDGB＝4S△DGB ， 求出G点坐标； （3） 在抛物线上B，D之间是否存在一点M，过点M作MN⊥CD，交直线CD于点N，使以C，M，N为顶点的三角形与△BDE相似？若存在，求出满足条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 答案： 解： ∵ 抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A(−1,0) ， B(3,0) 两点， ∴{1−b+c=09+3b+c=0 ，解得 {b=−2c=−3 ， ∴抛物线的解析式为： y=x2−2x−3 ； ∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4 ， ∴ 顶点 D 的坐标为 (1,−4) ； 解：如图2，连接 BC ，BG，DG， 在 y=x2−2x−3 中，令 x=0 ，则 y=−3 ， ∴点 C(0,−3) ， ∴易求直线 BC 的解析式为 y=x−3 ， 设直线 BC 与对称轴相交于点 F ， 当 x=1 时， y=1−3=−2 ， ∴点 F(1,−2) ， ∴ DF=−2−(−4)=−2+4=2 ， ∴S△BCD=12×2×3=3 ， ∵S 四边形 CDGB=4S△DGB ， ∴S△DGB=13S△BCD=13×3=1 ， 设过点 G 与 y 轴平行的直线交BD于点 H ，直线 BD 的解析式为 y=kx+b ， 则 {3k+b=0k+b=−4 ，解得 {k=2b=−6 ， ∴直线 BD 的解析式为 y=2x−6 ， 设 G(x,x2−2x−3) ，则H（x，2x-6）， ∴ GH=(2x−6)−(x2−2x−3)=−x2+4x−3 ， ∴ S△BDG=12×(−x2+4x−3)×(3−1)=−x2+4x−3=1 ， 整理得， x2−4x+4=0 ， 解得： x1=x2=2 ，则 x2−2x−3=4−4−3=−3 ， ∴点 G(2,−3) ； 解：存在， 由勾股定理得， BC=OC2+OB2=32+32=32 ， 如图3，过点 B 作 BP⊥BC 交 CM 的延长线于 P ， ∵B(3,0) ， C(0,−3) ， D(1,−4) ， ∴BC ， CD 与 y 轴的夹角都是 45° ， ∴∠BCD=90° ， 又 ∵MN⊥CD ， ∴BC∥MN ， ∴∠BCP=∠CMN ， ∵ 以 C 、 M 、 N 为顶点的三角形与 △BDE 相似， ∴ 以 B 、 C 、 P 为顶点的三角形与 △BDE 相似， ∴BPBC=BEED 或 BPBC=DEBE ，即 BP32=3−14 或 BP32=43−1 ， 解得： BP=322 或 BP=62 ， 过点 P 作 PQ⊥x 轴于 Q ， ∵∠OBC=45° ， ∴∠PBQ=45° ， ①当 BP=322 时， PQ=BQ=322×22=32 ， ∴ OQ=OB+BQ=3+32=92 ， ∴点 P(92,−32) ， 设直线 CP 的解析式为 y=kx+b ， 则 {92k+b=−32b=−3 ，解得 {k=13b=−3 ， ∴直线 CP 的解析式为 y=13x−3 ， 联立 {y=13x−3y=x2−2x−3 ，解得： {x1=0y1=−3 （舍去）， {x2=73y2=−209 ， ∴点 M(73,−209) ； ②当 BP=62 时， PQ=BQ=62×22=6 ， ∴ OQ=OB+BQ=3+6=9 ， ∴点 P(9,−6) ， 设直线 CP 的解析式为 y=kx+b ， 则 {9k+b=−6b=−3 ，解得 {k=−13b=−3 ， ∴直线 CP 的解析式为 y=−13x−3 ， 联立 {y=−13x−3y=x2−2x−3 ，解得 {x1=0y1=−3 （舍去）， {x2=53y2=−329 ， ∴ 点 M(53,−329) ， 综上所述，存在点 M(73,−209) 或 (53,−329) ，使以 C 、 M 、 N 为顶点的三角形与 △BDE 相似．

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