题目

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8． （1）求抛物线C的方程； （2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值． 答案：解：（1）由题可知，则该直线方程为：，…（1分） 代入y2=2px（p＞0）得：， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1+x2=3p…（3分） ∵|MN|=8，∴x1+x2+p=8，即3p+p=8，解得p=2 ∴抛物线的方程为：y2=4x．…（5分） （2）设l方程为y=x+b，代入y2=4x，得x2+（2b﹣4）x+b2=0， ∵l为抛物线C的切线，∴△=0， 解得b=1，∴l：y=x+1…（7分） 由（1）可知：x1+x2=6，x1x2=1 设P（m，m+1），则 ∴ = ∵x1+x2=6，x1x2=1，，y1y2=﹣4，， ∴， ∴…（10分） =2[m2﹣4m﹣3]=2[（m﹣2）2﹣7]≥﹣14 当且仅当m=2时，即点P的坐标为（2，3）时，的最小值为﹣14．…（12分）

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