题目

（1） [选修4﹣1：几何证明选讲]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．求证：∠E=∠C． （2） [选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵 ，求矩阵A的特征值． （3） [选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆C经过点P（ ， ），圆心为直线ρsin（θ﹣ ）=﹣ 与极轴的交点，求圆C的极坐标方程． （4） [选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x，y满足：|x+y|＜ ，|2x﹣y|＜ ，求证：|y|＜ ． 答案： 证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC，∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D，E 为圆上位于AB异侧的两点，∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）． 解：∵矩阵A的逆矩阵 A−1=[−143412−12] ，∴A= (A−1)−1=[2321]∴f（λ）= |λ−2−3−2λ−1| =λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1，λ2=4 解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣ π3 ）=﹣ 32 与极轴的交点，∴在ρsin（θ﹣ π3 ）=﹣中令θ=0，得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1，0）．∵圆C 经过点P（ 2 ， π4 ），∴圆C的半径为PC=1．∴圆 的极坐标方程为ρ=2cosθ． 证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|，|x+y|＜ 13 ，|2x﹣y|＜ 16 ，∴3|y|＜ 23+16=56 ，∴ |y|<518

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