题目

如图1，四边形 是矩形，点 的坐标为 ，点 的坐标为 .点 从点 出发，沿 以每秒1个单位长度的速度向点 运动，同时点 从点 出发，沿 以每秒2个单位长度的速度向点 运动，当点 与点 重合时运动停止.设运动时间为 秒. （1） 当 时，线段 的中点坐标为； （2） 当 与 相似时，求 的值； （3） 当 时，抛物线 经过 、 两点，与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ，如图2所示.问该抛物线上是否存在点 ，使 ，若存在，求出所有满足条件的 点坐标；若不存在，说明理由. 答案： 【1】（ 52 ，2） 解：如图1，∵四边形OABC是矩形，∴∠B=∠PAQ=90°∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：①当△PAQ∽△QBC时， PAAQ＝QBBC ，∴ 3−t2t＝6−2t3 ，4t2-15t+9=0，（t-3）（t- 34 ）=0，t1=3（舍），t2= 34 ，②当△PAQ∽△CBQ时， PAAQ＝BCQB ，∴ 3−t2t＝36−2t ，t2-9t+9=0，t= 9±352 ，∵0≤t≤6， 9+352 ＞7，∴x= 9+352 不符合题意，舍去，综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是 34 或 9+352 解：当t=1时，P（1，0），Q（3，2），把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：{1+b+c＝09+3b+c＝2  ，解得： {b＝−3c＝2  ，∴抛物线：y=x2-3x+2=（x- 32 ）2- 14 ，∴顶点k（ 32 ，- 14 ），∵Q（3，2），M（0，2），∴MQ∥x轴，作抛物线对称轴，交MQ于E，∴KM=KQ，KE⊥MQ，∴∠MKE=∠QKE= 12 ∠MKQ，如图2，∠MQD= 12 ∠MKQ=∠QKE，设DQ交y轴于H，∵∠HMQ=∠QEK=90°，∴△KEQ∽△QMH，∴ KEEQ＝MQMH ，∴ 2+1432＝3MH ，∴MH=2，∴H（0，4），易得HQ的解析式为：y=- 23 x+4，则 {y＝−23x+4y＝x2−3x+2  ，x2-3x+2=- 23 x+4，解得：x1=3（舍），x2=- 23 ，∴D（- 23 ， 409 ）；同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM= 12 ∠MKQ=∠QKE，由对称性得：H（0，0），易得OQ的解析式：y= 23 x，则 {y＝23xy＝x2−3x+2  ，x2-3x+2= 23 x，解得：x1=3（舍），x2= 23 ，∴D（ 23 ， 49 ）；综上所述，点D的坐标为：D（- 23 ， 409 ）或（ 23 ， 49 ）

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