题目

已知抛物线x2=4y,过点M(2，2)作动弦AB，过A，B两点分别作抛物线的切线，两切线交于点P．(1)证明：点P的轨迹为直线l：x-y-2=0；(2)过点M作直线的垂线Z：x-y-2=0的垂线，垂足为N，证明：∠ANM=∠BNM． 答案：答案：(1)设A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1=，y2=，于是kPA=，kPB=．由点斜式得两切线方程：PA：2(y+y1)=x1x，PB：2(y+y2)=x2x，解得点P坐标为().由A、M、B三点共线知.x1x2(x2-x1)+2(x1+x2)(x1-x2)+8(x2-x1)=0                                            ①易知x2-x1≠0，将①式两端同除以4(x2-x1)得+2=0，故点P的轨迹为直线l：x-y-2=0．(2)过点M所作垂线l1的方程为y-2=-(x-2)，解得l与l1的交点N(3，1)．MN的斜率为-1，若AN，BN的斜率均存在，则分别设为k1，k2，要证∠ANM=∠BNM，只需证，即证k1k2=1k1k2=                                    ②设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y-2=k(x-2)，代入x2=4y得x2-4kx+8k-8=0，于是x1+x2=4k，x1x2=8k-8y1+y2=k(x1-2)+2+k(x2-2)+2=4k2-4k+4，y1y2==4k2-8k+4代人②式得k1k2==1(1≠)当k=时，解得A、B两点坐标分别为(-2，1)，(3，)，知直线AN与BN的斜率一个不存在，一个为零，亦有∠ANM=∠BNM．

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