题目

如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA＝5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1） 求证：AB＝AC； （2） 若PC＝2 ，求⊙O的半径及线段PB的长． 答案： 证明：如图1，连接OB． ∵AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA＝∠OAC＝90°， ∴∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠APC＝90°， ∵OP＝OB， ∴∠OBP＝∠OPB， ∵∠OPB＝∠APC， ∴∠ACP＝∠ABC， ∴AB＝AC； 解：如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD， 设圆半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝5﹣r， 则AB2＝OA2﹣OB2＝52﹣r2， AC2＝PC2﹣PA2＝（2 5 ）2﹣（5﹣r）2， ∴52﹣r2＝（2 5 ）2﹣（5﹣r）2， 解得：r＝3， ∴AB＝AC＝4， ∵PD是直径， ∴∠PBD＝90°＝∠PAC， 又∵∠DPB＝∠CPA， ∴△DPB∽△CPA， ∴ CPPD ＝ APBP ， ∴ 253+3 ＝ 5−3BP ， 解得：PB＝ 655 ． ∴⊙O的半径为3，线段PB的长为 655 ．

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